题目

已知集合A={（x,y）|ax+y=1},B={（x,y）}|x+ay=1},C={(x,y)|x²+y²=1},问,（1）当a取何值时,（A∪B）∩C为含有两个元素的集合?（2）当a取何值时,（A∪B）∩C为含有三个元素的集合

提问时间：2020-12-13

答案

C为单位圆
A为直线：y=1-ax
B为直线：x=1-ay
A,B恰互为反函数,关于y=x对称,因此A与B会同时与圆相切,相交,不相交.
1）由上分析,只能是A,B与C相切.即圆心到到直线的距离为半径1
即1/√(a^2+1)=1,得：a=0
2)有三个元素,则A,B都与C相交,且有一个交点重合.
因为A,B的交点必在直线y=x上,故与C的交点必为(√2/2,√2/2)或(-√2/2,-√2/2)
此时a=(1-√2/2)/(√2/2)=√2-1,或 a=(1+√2/2)/(-√2/2)=-√2-1