题目

将10cm长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边，求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值为______．

提问时间：2020-12-13

答案

设等腰直角三角形的斜边为xcm，则正方形的边长为（10-x）cm．若等腰直角三角形的面积为S₁，正方形面积为S₂，则
S₁=

1

2

•x•

1

2

x=

1

4

x²，S₂=（10-x）²，
面积之和S=

1

4

x²+（10-x）²=

5

4

x²-20x+100．
∵

5

4

＞0，
∴函数有最小值．
即S_最小值=

4× 5 4 ×100−202

4× 5 4

=20（cm²）．
故答案为20平方厘米．

设等腰直角三角形的斜边为x，则正方形的边长为10-x．分别用含x的式子表示两个图形的面积，再求和的表达式，运用函数性质求解．

本题考点：二次函数的最值；等腰直角三角形；正方形的性质．

考点点评：此题的关键在数学建模思想的应用．选择合适的未知量表示面积得到函数关系式，再运用函数性质求解．