题目

Y=sinxcosx/（1+sinx+cosx）的值域

提问时间：2020-12-12

答案

方法一：
设tanx/2=t（后面写起来方便）
原式=[2t/(1+t^2)]*[(1-t^2)/(1+t^2)]/[1+2t/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2)/
=2t(1-t^2)/(2t+2) 约分,注意约掉的2*（1+t）≠0,即t≠-1
=(-t^2+t)/(t^2+1) (t≠-1)
=(t+1)/(t^2+1)-1 (t≠-1)
=1/[(t+1)+2/(t+1)-2]-1
分母可以把t+1看成一个变量y,y∈（-∞,0）∪（0,+∞）,是个NIKE函数（或钩函数）
求出其范围2（-∞,-2-2√2]∪[-2+2√2,+∞）,再求倒数范围,最后-1
答案是 值域为[-(1+√2)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2]
方法二：
假设sinx+cosx=√2sin(x+45)=t
-√2<=t<=√2
y=（sinxcosx）/（1+sinx+cosx）
=1/2[(cosx+sinx)^2-1]/(1+sinx+cosx)
=1/2(t^2-1)/(1+t)
=1/2t-1/2,t≠-1
-(√2+1)/2<=y<=(√2-1)/2且y≠-1
祝您学习愉快