题目

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；
②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（x）在区间[m-1，m]上恒有|f（x）-x|≤1，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-12-12

答案

（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立
∴1≤f（1）≤1
∴f（1）=1；
（2）∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；
∴−

b

2a

＝−1，f（-1）=a-b+c=0
又∵f（1）=a+b+c=1
∴a＝

1

4

，b＝

1

2

，c＝

1

4

∴f(x)＝

1

4

(x+1)2；
（3）设g（x）=f（x）-x=

1

4

(x−1)2
关于x=1对称 
当x∈[-1，3]时，|f（x）-x|≤1
∴0≤m≤3．