题目

若λ为A的k重特征值,则对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数《k
这是矩阵的相似对角化这一节里的,课本上没有给出任何说明,我实在想不懂为什么?

提问时间：2020-12-10

答案

你要清楚不同特征根的特征向量线性无关,
A的所有特征根共n个,A为n阶矩阵,那么它的特征根共n个(k重根算k个).而A的特征向量为n维向量,可以用n个基表出.若应于特征值λ的线性无关特征向量的个数=k+1,那么对于可逆阵A,其所有线性无关特征向量的个数之和>n,显然矛盾.(我只是用可逆阵做例子,有这样一个定理:
R(A)=A的所有线性无关特征向量的个数之和.它可以由A最简化得证.)一般情况是一样的.