题目

抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线

x2

3

−

y2

6

＝1的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）求弦长|AB|；   （2）试判断以弦AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系．

提问时间：2020-12-08

答案

（1）双曲线右焦点为F（3，0），
它也是抛物线的焦点．
∴抛物线方程为y²=12x．…（2分）
又直线l的方程为y=x-2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y＝x−2 y2＝12x

，
得x²-16x+4=0…（4分）
∴弦长|AB|＝

(1+1)(162−4×4)

＝4

30

．…（6分）
（2）弦中点坐标为x中＝

x1+x2

2

＝

8

，

y中＝x中−2＝6，…（8分）
∴以AB为直径的圆的圆心为（8，6），
半径r＝2

30

，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2

30

＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分）

（1）双曲线右焦点为F（3，0），它也是抛物线的焦点．所以抛物线方程为y²=12x．由直线l的方程为y=x-2，由此能求出弦长|AB|．
（2）弦中点坐标为x中＝

x1+x2

2

＝

8

，

y中＝x中−2＝6，所以以AB为直径的圆的圆心为（8，6），半径r＝2

30

，又准线为x=-3．由此能得到圆与抛物线准线相离．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．

考点点评：本题主要考查圆锥曲线标准方程，简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．