题目

关于带根号内带根号的计算
求证：（√2+√6）/4=（2+√3）/√【（2+√3）^2+1^2】
1楼的朋友，接着右面还有根号的。

提问时间：2020-12-08

答案

换元法.令 t=3tanX,得36+4t^2=36(1+(tanX)^2)
=36(secX)^2
而且 dt = 3(secX)^2 dX
因此
根号下（36+4t^2）dt
的不定积分等于
根号下（36(secX)^2）* 3(secX)^2 dX 的不定积分
= 27 * (1/cosX)^3 dX 的不定积分
= 27 * (sinX) / (cosX)^4 dX 的不定积分
= -27 * 1/(cosX)^4 d(cosX) 的不定积分
= -27 * (-1/3) * 1/(cosX)^3 + C
= 9/(cosX)^3 + C
所以
积分区域为t从0到4 求根号下（36+4t^2）的定积分
= 积分区域为 X从0到arctan(4/3),求根号下根号下（36(secX)^2）* 3(secX)^2 dX 的定积分
= 9/(cosX)^3 | 以X=arctan(4/3)代入 减去 9/(cosX)^3 | 以 X=0代入
= 9/(3/5)^3 - 9/1
= 125/3 - 9
= 98/3