题目

设函数f（x）=a|x|+

b

x

（a，b为常数），且①f（-2）=0；②f（x）有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序数对（a，b）为______．

提问时间：2020-12-08

答案

由f（-2）=2a-

b

2

=0可得，b=4a
∴f(x)=a|x|+

4a

x

=

ax+ 4a x ，x＞0 -ax+ 4a x ，x＜0

∴函数的定义域为（-∞，0）（0，+∞）
∵f（x）有两个单调递增区间
当a＞0时，函数在（2，+∞）单调递增，在（-∞，0），（0，2）单调递减，不符合题意
当a＜0时，函数在（-∞，0）在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减
当a=0时，函数f（x）=0不具有单调性
故满足条件的a＜0
故答案为：（t，4t）（t＜0）

由f（-2）=2a-

b

2

=0可得b=4a，从而可得f(x)=a|x|+

4a

x

=

ax+ 4a x ，x＞0 -ax+ 4a x ，x＜0

，由函数的定义域为（-∞，0）（0，+∞），当a＞0时，函数在（2，+∞）单调递增，在（-∞，0），（0，2）单调递减，当a＜0时，函数在（0，+∞）在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减，当a=0时，函数f（x）=0不具有单调性，从而可得

本题考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．

考点点评：本题主要考查了形如f（x）=ax+

a

x

的单调性与参数a的取值范围的关系，解题的关键是要灵活利用基本初等函数的单调行．