题目

已知椭圆Y2/75+X2/25=1,则它的斜率为3的弦中点的轨迹方程

提问时间：2020-12-08

答案

设它的斜率为3的弦所在直线方程为
y=3x+b
弦中点为(x,y)
弦与椭圆相交于A,B两点,A(x1,y1) B(x2,y2) 代入椭圆有
y1^2/75+x1^2/25=1 (1)
y2^2/75+x2^2/25=1 (2)
(1)-(2)得
(y1-y2)(y1+y2)/75+(x1-x2)(x1+x2)/25=0
(y1-y2)/(x1-x2)=3 x1+x2=2x y1+y2=2y 代入 得
6y/75+2x/25=0
x+y=0
联立
y=3x+b
y^2+3x^2=75
消掉y得到关于x的一元二次方程
12x^2+6bx+b^2-75=0
判别式=36b^2-4*12*(b^2-75)=-12b^2+4*12*75
令判别式=36b^2-4*12*(b^2-75)=-12b^2+4*12*75=0
b=-10√3或b=10√3
此时斜率为3的直线与椭圆相切,切点横坐标为x=5√3/2或x=-5√3/2
弦中点的轨迹方程 y=-x x∈(-5√3/2,5√3/2)