题目
设函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1).
(1)求f(x)的极小值;
(2)若x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,求实数a的取值范围.
(1)求f(x)的极小值;
(2)若x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,求实数a的取值范围.
提问时间:2020-12-05
答案
(1)∵f′(x)=2ln(2x+1)+2,
f′(x)=0,
∴x=
(
−1)
当x∈(
(
−1), +∞),f′(x)>0
当x∈(−
,(
(
−1)),f′(x)<0
∴函数的极小值是f(
(
−1)+=-
(2)x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,
令g(x)=(2x+1)ln(2x+1)-2ax
g′(x)=2[ln(2x+1)+1-a]=0,x=
ea−1−1
当a≤1,a-1≤0,
ea−1−1≤0
g′(x)≥0恒成立,
∴g(x)在[0,+∞)上单增,
∴g(x)≥g(0)=0成立,对于x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,
当a>1时,a-1>0,
(ea−1−1)>0
当x∈[0,
(ea−1−1)),g′(x)<0恒成立,
又g(0)=0,∴当x∈[0,
(ea−1−1))时,g(x)≤g(0)=0成立,
即当a>1时,不是所有的x≥0都有f(x)≥2ax,
综上可知a≤1.
f′(x)=0,
∴x=
1 |
2 |
1 |
e |
当x∈(
1 |
2 |
1 |
e |
当x∈(−
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
e |
∴函数的极小值是f(
1 |
2 |
1 |
e |
1 |
e |
(2)x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,
令g(x)=(2x+1)ln(2x+1)-2ax
g′(x)=2[ln(2x+1)+1-a]=0,x=
1 |
2 |
当a≤1,a-1≤0,
1 |
2 |
g′(x)≥0恒成立,
∴g(x)在[0,+∞)上单增,
∴g(x)≥g(0)=0成立,对于x≥0时,都有f(x)≥2ax成立,
当a>1时,a-1>0,
1 |
2 |
当x∈[0,
1 |
2 |
又g(0)=0,∴当x∈[0,
1 |
2 |
即当a>1时,不是所有的x≥0都有f(x)≥2ax,
综上可知a≤1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1甲、乙、丙、丁四个小朋友的年龄和是36岁.如果甲的年龄加上2岁,乙的年龄减去2岁,丙的年龄扩大到原来的2倍,丁的年龄缩小到原来的1/2,那么四个人的年龄正好相等.最小的一人是谁?他几岁?
- 2氨基酸分子式为什么C可以连4条杆
- 3摘抄《伊索寓言》,《繁星春水》好句子,并说好在哪里.
- 42xy/x平方-y平方-x/x+y+y/y-x,其中x=3、y=2 先化简再求值
- 5工厂计划做4320个机器零件,18个工人工作8小时完成了计划的一半,其余的如果在4小时内完成需要多少工人?
- 6声东击( )然无恙 同舟( )柯一梦 不谋而( )头胖耳 地北天( )缺毋滥 百川归( )若悬河
- 7一元二次方程有俩个相同的根代表了什么?
- 8一个数的5分之2比它的百分之25大27,这个数是多少?
- 9quite a beautiful girl还是a quite beautiful girl
- 10已知集合A={x|x平方-2x-8小于0} B={x|x小于a} A交B=A 求a的实数范围.
热门考点
- 1已知X概率密度函数求Y=2X+1的概率密度函数
- 2用英语介绍青岛景点
- 3x-1/6x=18怎么做
- 4有一块长方形的草坪,如果长和宽各增加1/3,那么面积增加了6.3平方米,求原长方形草坪的面积
- 5you have been disconnected from the login server.Please try again later.
- 6若要将含有40克溶质,质量分数为5%的氯化钠溶液的质量分数增大一倍,应采取的方法是_.
- 7c30 和c25的混凝土每立方米能出多少平米 (20公分和25公分的厚度)
- 8有机物萃取
- 9我国工人阶级是?多选A、先进生产力的代表 B、现代社会的劳动阶级 C、国家的领导阶级 D、中国共产党的阶级
- 10幸福的英语单词是什么?