题目

已知f（x）=x³+ax²+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为

n

＝(1，3)．
（1）若x＝

2

3

是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[

3

2

，2]单调递增，求实数b的取值范围．

提问时间：2020-12-03

答案

（1）由题意可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
因为函数的图象与y轴交于点（0，2），
所以C=2…①
又因为在x=1处切线的方向向量为

n

＝(1，3)，
所以f′（1）=3+2a+b=3…②
因为x＝

2

3

是函数f（x）的极值点，
所以f′（

2

3

）=

4

3

+

4a

3

+b=0…③
由①②③可得：a=2，b=-4，c=2．
所以f（x）=x³+a=2x²-4x+2．
（2）由题意可得：c=2，并且2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，
因为函数f（x）在区间[

3

2

，2]单调递增，
所以f′（x）=3x²-bx+b≥0在[

3

2

，2]上恒成立，
即b≤

3x2

x−1

在[

3

2

，2]上恒成立，
令g（x）=

3x2

x−1

，x∈[

3

2

，2]，
所以g（x）=3×

(x−1)2+2(x−1)+1

x−1

=3×[(x−1)+

1

x−1

+2]≥12，
当且仅当x−1＝

1

x−1

，即x=2时，g（x）有最小值为12．
所以b≤g（x）_min=12，
所以实数b的取值范围（-∞，12]．

（1）由题意可得：C=2，f′（1）=3+2a+b=3并且f′（

2

3

）=

4

3

+

4a

3

+b=0，所以可得：a=2，b=-4，c=2．
（2）由题意可得：2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，根据函数f（x）在区间[

3

2

，2]单调递增，可得b≤

3x2

x−1

在[

3

2

，2]上恒成立，再利用函数求最值得方法求出g（x）=

3x2

x−1

的最小值，即可得到答案．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义，以及熟练掌握恒成立问题与求最值问题之间的相互转化．