题目

已知AB是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的一条弦向量OA+向量OB=2向量OM,向量OM=(2,1),以M为左焦点,以椭圆的右准线
相应准线的双曲线左支与直线交于N(4,-1)⑴求椭圆的离心率e1⑵设双曲线的离心率为e2,e1=e2=f（a),求f(a)的解析式,并求它的定义域和值域

提问时间：2020-11-30

答案

椭圆的右准线x =a^2/c 2√2=|a^2/c-4|×e 即e=2√2/(a^2/c-4)
又AB方程x+y-3=0 联立方程b^2 x^2 +a^2 y^2-a^2 b^2=0 和x+y-3=0
得（a^2+b^2）x^2-6ax^2+9a^2-a^2b^2=0 x1+x2=6a^2/(a^2+b^2)=4
所以a^2=2b^2,即a^2=2c^2 所以椭圆的离心率e'=√2/2 从而e=2/(| a-2√2 |)
由题设e-e'=1,即e=√2,所以(| a-2√2 |=√2,解得a=3√2,或a=√2
若a=√2,则由M（2,1）椭圆内矛盾,所以a=3√2,从而椭圆的方程为x^2/18+y^2/9=1