题目

讨论方程：e^x=ax^2的实根的个数.a>0
麻烦用高数方法解答,这个题是我数学分析的作业,

提问时间：2020-11-29

答案

令f(x)=e^x,g(x)=ax^2,h(x)=f(x)-g(x).显然上述三函数均连续.
易得h(-∞)＜0,h(0)＞0,因此必存在一点x=x0,使
h(xo)=o,即：
f(xo)=e^xo=g(xo)=axo^2 即：
e^x=ax^2在(-∞,0）上有一实根.
因e^x=ax^2,将方程右边改写左边的形式,当x＞0时,有
x=lna+2lnx (指数相等）
令u(x)=x-lna-2lnx 有
u'(x)=1-2/x
令u'(x1)=o 可得x1=2 并有
x＜x1时,u'(x)＜0; x＞x1时,u'(x)＞0.由此可知x=x1为极小值.
因此,为使方程有根,必须h(x1)≤0,即：
a≥e^2/4 且
u(+∞)＞0
用洛必塔法则易证出x大于lnx,所以
u(+∞)＞0成立.
综上所述：
0＜a＜e^2/4时,方程只有1实根；
a=e^2/4时,有2实根；
a＞e^2/4时,有3实根.