题目

已知关于x的方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为______．

提问时间：2020-11-26

答案

∵x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0，
⇒（x⁴+2x³+x²）+[（2+k）x²+（2+k）x]+2k=0，
⇒x²（x²+2x+1）+（2+k）（x²+x）+2k=0，
⇒x²（x+1）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，
⇒（x²+x）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，
⇒（x²+x+2）（x²+x+k）=0，
∵x²+x+2=（x+

1

2

）²+

7

4

≠0，
∴只能是x²+x+k=0，
∵方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0所有实根的乘积为-2，
∴k=-2，即原方程实根的解等价于x²+x-2=0，
∴两实根是-2、1，
所有实根的平方和=（-2）²+1²=5．
故答案为：5．