题目

等式两边分别对x求导,xy+y-x－8=0.这怎么做,什么意思,求高人指点,...
等式两边分别对x求导,xy+y-x－8=0.这怎么做,什么意思,求高人指点,解释清楚一点.

提问时间：2020-11-25

答案

本题涉及到的是隐函数求导的表达问题：
1、这是一种定义方法,通过方程 xy + y - x - 8 = 0 定义y是x的函数,
这种方程,一般是解不出一个具体的表达式,y = f(x).
如果能写出 y = f(x) 这样的表达式,就称为y是x的显函数,explicit function；
如果不能写出一个具体的表达式,就称为y是x的隐函数,implicit function.
2、无论是显函数,还是隐函数；无论解得出 y = f(x) ,还是解不出,都不能改变y是x的
函数的事实.
所以,xy + y - x - 8 = 0 两边都是x的函数,两边都对x求导,
左边变成：y + xy ' + y' - 1 (说明左边既是x的函数,又是y的函数,最后还是x的函数,
x对x求导,y也对x求导,这就是隐函数的链式求导)；
右边变成：0 (说明右边不含x,不含y,不是x、y的函数)
所以,y + xy ' + y' - 1 = 0,y' = (1 - y)/(1 + x)
同样地,y ‘ 的表达式中,也不一定都是x,也可能包括y,隐函数的导数就是这样表达的.
可能是解不出,可能是不愿解,没有必要解,都没有关系,没有规定,一定要显式表达.