题目

已知：a,b,c是三个非零向量,证明Ia-b+cI=IaI+IbI+IcI的充要条件是a,-b,c同方向

提问时间：2020-11-24

答案

充分条件,a,-b,c同方向 ,设a=kc,-b=mc,(k,m是非0实数) |a-b+c|=|kc+mc+c|=(k+m+1)|c| |a|+|b|+|c|=|kc|+|mc|+|c|=k|c|+m|c|+|c|=(k+m+1)|c| 所以|a-b+c|=|a|+|b|+|c| 必要条件 |a-b+c|=|a|+|b|+|c|,两边平方,并化简得 |a||b|+|a||c|+|b||c|=ac-bc-ab 因为ac=|a||c|cosA(A是a,c夹角) -bc=|b||c|cosB（B是-b,c夹角） -ab=|a||b|cosC（C是a,-b夹角） |a||b|+|a||c|+|b||c|-ac+bc+ab =|a||b|(1-cosC)+|a||c|(1-cosA)+|b||c|(1-cosB)=0 a,b,c是三个非零向量,所以 1-cosC=1-cosB=1-cosA=0 所以cosA=cosB=cosC=1,A=B=C=90° a,-b,c同方向.