题目

如何用反函数法求函数值域?“定义域为非单元素的偶函数不存在反函数”是什么意思?

提问时间：2020-11-24

答案

第一个问题.反函数法求值域.
一个函数有反函数,意味着这个函数的自变量和函数值是一一对应的.函数f(x)的定义域是A,值域是B,那么其反函数g(x)的定义域就是B,值域就是A.那么要求f(x)的值域,就转换为求g(x)的定义域.方法就是,先通过f(x)求出g(x),再根据函数关系式的限制求g(x)的定义域,就OK啦.
不过这个方法有个问题,求反函数g(x)的过程,不仅要知道表达式,而且一定要知道g(x)的定义域（这个是要求出来的）,这样反函数g(x)才算完整.这样,在求反函数g(x)的过程中就已经包含了求原函数f(x)值域的过程,所以说这个“用反函数法求函数值域”的方法至少目前看起来有些多余.
第二个问题,定义域为非单元素的偶函数不存在反函数.
你可能是看不太懂这句话吧,先分析这个句子.主干是：（什么什么样子的）偶函数不存在反函数,形容偶函数的是“定义域为非单元素”."单元素"的意思理解起来就是“一个数”,比如{0},比如{10},那么“定义域为非单元素”就是“定义域不只是一个数”,“定义域有多个数”.这句话就是“定义域有多个数的偶函数不存在反函数”.
下边再来说这句话的意思,反函数的存在就是要自变量与函数值是一一对应的关系,例如也就是当自变量X=1时,Y只能=2,；当Y=2时,X只能=1,否则不存在反函数.而“定义域有多个数的偶函数”它的自变量与函数值就不是一一对应的关系了,因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=y,如此,比如是f(1)=f(-1)=2,那么求f(x)反函数的时候就有问题了,g(2)可能等于1也可能等于-1,那么g(x)就不是函数了,f(x)不存在反函数.
我再多说一些,如果定义域是单元素的偶函数呢,因为是单元素,所以定义域只有一个数,在f(x)=f(-x)中x=-x,所以x=0,那么函数其实就是一个点,f(0)=y,那么当然求反函数的时候g(y)=0啦,这个是存在的,所以说定义域为单元素的偶函数存在反函数,定义域为非单元素的偶函数不存在反函数.