题目

求一曲线的方程,使其上任一点处的切线在y轴上的截距恰好等于原点到该点的距离.

提问时间：2020-11-23

答案

设其上任一点为(a,f(a))
切线为y=f'(a)(x-a)+f(a)
在y轴上的截距为-af'(a)+f(a)
该点到原点的距离= √(a^2+f(a)^2)
依题意,有：-af'(a)+f(a)= √(a^2+f(a)^2]
记a为x,f(a)为y,则有微分方程：(-xy'+y)^2=x^2+y^2
即x^2y'^2-2xyy'=x^2
xy'^2-2yy'=x
令u=y/x,则y'=u+xu'
(u+xu')^2-2u(u+xu')=1
x^2u'^2-u^2=1
u'^2=(u^2+1)/x^2
u'= ±√(u^2+1)/x
du/ √(u^2+1)=±dx/x
积分：ln[u+ √(u^2+1)]=±ln|x|+C1
故：y/x+ √(y^2/x^2+1)=Ce^(±|x|)