题目

将函数f(x)＝sin

1

4

x•sin

1

4

(x+2π)•sin

1

2

(x+3π)

提问时间：2020-11-23

答案

（1）f(x)＝sin

1

4

x•sin

1

4

(x+2π)•sin

1

2

(x+3π)
=sin

1

4

x•cos

1

4

x•(−cos

1

2

x)
=

1

2

•sin

1

2

x•(−cos

1

2

x)
=−

1

4

sinx
根据正弦函数的性质，
其极值点为x＝kπ+

π

2

(k∈Z)，
它在（0，+∞）内的全部极值点构成以

π

2

为首项，π为公差的等差数列，
数列{a_n}的通项公式为
 an＝

π

2

+(n−1)•π＝

2n−1

2

π(n∈N*)．（6分）
（2）由（1）得出bn＝2nan＝

π

2

(2n−1)•2n（8分）
∴Tn＝

π

2

[1•2+3•22+…+(2n−3)•2n−1+(2n−1)•2n]，两边乘以2得，
2Tn＝

π

2

[1•22+3•23+…+(2n−3)•2n+(2n−1)•2n+1]
两式相减，得−Tn＝

π

2

[1•2+2•22+2•23+…+2•2n−(2n−1)•2n+1]
=

π

2

[2+

8(1−2n−1)

1−2

−(2n−1)• 2n+1]
=

π

2

[−6+(3−2n)2n+1]
=-π[（2n-3）•2ⁿ+3]
∴T_n=π[（2n-3）•2ⁿ+3]（12分）