题目

为什么一个数的奇数位与偶数位的相差数是11的倍数,这个数就能被11整除?

提问时间：2020-11-23

答案

设AnAn-1…A2A1为n位整数,不妨设n为奇数（偶数类似）,则Y＝11×AnAn-1An-2…A2A1＝
AnAn-1An-2… A2A1
＋ An An-1An-2…A2A1
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所以Y偶数位相加＝An+(An-2+An-1)+……+(A1+A2)
而Y奇数位相加＝(An-1+An)+(An-3+An-2)+……+(A1+A2)
也就是奇数位和偶数位的和相同（11的0倍）可以被11整除.
以上是不考虑进位的,或者说就是比如An＋An-1>10也不进位.如果有进位,设有m个偶数位有进位,分别进了m1～mm到奇数位,其结果是偶数位的和减10×(m1+m2+…+mm-1+mm),奇数位的和加1××(m1+m2+…+mm-1+mm),这样就两个和相减就差了11的×(m1+m2+…+mm-1+mm)倍.
也就是说,11的正倍数的奇数位的和与偶数位的和的差一定为11的倍数,反之,奇数位的和与偶数位的和的差为11的倍数的数也一定能被11整除