题目

设m,n∈Z+,m、n≥1,f（x）=（1+x）m+（1+x）n的展开式中,x的系数为19.
（1）求f（x）展开式中x2的系数的最大、小值；
（2）对于使f（x）中x2的系数取最小值时的m、n的值,求x7的系数.

提问时间：2020-11-20

答案

（1）x的系数为19
=>m+m=19
x^2的系数:m(m-1)/2+n(n-1)/2=(m^2+n^2-m-n)/2==(m^2+n^2-19)/2
m^2+n^2=m^2+(19-m)^2=2m^2-38m+361
取最小值,又m,n∈Z+,所以m=9或10,此时n=10或9
m^2+n^2的最小值为181.则x^2的系数的最小值为81.
当m=18时(m最大只能取18),2m^2-38m+361取最大值,为325.则此时n=1.
（2）x2的系数取最小值时,m=9,n=10或者m=10,n=9.
当m=9,n=10
x7系数,C(上面7,下面9)+C(上面7,下面10)=（9*8）/2+（10*9*8）/(3*2*1)=156;
m=10,n=9时,同理的x7的系数为156