题目

已知函数f（x）=x³+6x²+15|x|
（1）求f（x）在x=1处的切线方程．
（2）求f（x）在[-1，a]上的最小值．

提问时间：2020-11-19

答案

（1）x＞0时，f（x）=x³+6x²+15x，f（1）=22
∴f'（x）=3x²+12x+15，f'（1）=30
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=30（x-1）+22即y=30x-8．（ 7分）
（2）f（x）=

x3+6x2+15x   x≥0 x3+6x2−15x    x＜0

，f'（x）=

3x2+12x+15   x≥0 3x2+12x−15    x＜0

令f'（x）=0，x=-5，函数单调性变化情况如下表

x	（-∞，-5）	-5	（-5，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

由表知当-1＜a≤0，f（x）_min=f（a）=a³+6a²+15a；
当a＞0，f（x）_min=f（0）=0．                （ 15分）

（1）先去绝对值，然后求出切点坐标，求在x=1处的导数值得到切线的斜率，最后根据点斜式直线方程可求出所求；
（2）先将函数写出分段函数，然后求出导函数，令f'（x）=0得x=-5，-5与0将区间分成三段，研究导数符号，得到函数的单调性，从而求出函数在[-1，a]上的最小值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．