题目

已知函数f(x)=x² -2lnx,g(x)=x-2√x.1.求证,当x＞0时,f（x）=g（x）+2有唯一解

提问时间：2020-11-18

答案

考察函数 f(x)-[g(x)+2]=(x²-x-2+2√x)-2lnx 的取值范围；
上述函数的定义域：(0,+∞)；
当 x→+0 时,lim{f(x)-[g(x)+2]}=lim{(x²-x-2+2√x)-2lnx}=lim{-2-2lnx}=+∞；
当 x→+∞ 时,lim{f(x)-[g(x)+2]}=lim{(x²-x-2+2√x)-2lnx}=lim{x²}=+∞；
所以,被考察函数在其定义域内有极小值；
令 {f(x)-[g(x)+2]}'=2x-1+(1/√x)-(2/x)=0 →→ 2x+1/√x=2/x+1,观察可知,x=1 为左方程的一个解；
方程 2x+1/√x=2/x+1 的右端函数(2/x+1)在x>0时是单减函数,而左端函数(2x+1/√x)有极小值3/2^(1/3)（对应x=x0=1/2^(1/3)）,因此当x>x0时方程可能有（如有则只有一个）解,也就是说x=1是唯一解；
当0