题目

已知f(x)=2sin^4 x+2cos^4 x+cos^2 x-3
1)求函数f（x）的最小正周期
2)求出函数f（x）的在[π/16,3π/16]上的最小值,并求出f（x）取最小值时x的取值.

提问时间：2020-11-16

答案

首先将f(x)=2sin^4 x+2cos^4 x+cos^2 x-3 化简,得到
f(x)=cos^2(2x)+cos(2x)/2-3/2
=cos(4x)/2+cos(2x)/2-1,
1) 函数f(x)的最小正周期显然等于cos(2x)的周期π.
2) 因为函数
f(x)=cos^2(2x)+cos(2x)/2-3/2
=(cos(2x)+1/4)^2-25/24,
而当x在[π/16,3π/16]取值的时候,2x的取值范围为[π/8,3π/8],
所以cos(2x)的取值范围为[cos(3π/8),cos(π/8)],由于
-1/4不属于[cos(3π/8),cos(π/8)],所以
f(x)=cos^2(2x)+cos(2x)/2-3/2的最小值就是
当x=π/16和x=3π/16时随应的函数值的较小值.
因为f(π/16)=cos^2(π/8)+cos(π/8)/2-3/2,
f(3π/16)=cos^2(3π/8)+cos(3π/8)/2-3/2,
且cos(3π/8)