题目

关于x的方程2cos²x-sinx+a=0在区间[0，

7π

6

提问时间：2020-11-13

答案

由题意，方程可变为a=-2cos²x+sinx，令t=sinx，
由0＜x≤

7π

6

，可得 t∈[-

1

2

，1]．
①当x∈[π，

7π

6

]时，t∈[-

1

2

，0]，此时，x与t一一对应．
由题意可得，关于t的方程a=2t²+t-2，当t∈[-

1

2

，0]应有2个实数根，
即直线y=a和函数y=2t²+t-2，当t∈[-

1

2

，0]应有2个交点．
当t=-

1

4

时，y=2t²+t-2有最小值-

17

8

． 当t=-

1

2

或0时，a=2t²+t-2=-2．
此时，应有 a∈（-

17

8

，-2]．
但当a=-2时，t=-

1

2

或0，在区间[0，

7π

6

]上，对应x=0 或π或

7π

6

，
关于x的方程2cos²x-sinx+a=0在区间[0，

7π

6

]上有3个实数根，
故不满足条件，应舍去，故 a∈（-

17

8

，-2）．
②当x∈（0，π），且x≠

π

2

时，有2个x与一个t值对应．
故由题意可得，关于t的方程a=2t²+t-2，当t∈（0，1）有一个实数根，
即直线y=a和曲线y=2t²+t-2在（0，1）上有一个交点，如图所示：
此时，a∈（-2，1）．
综上可得，实数a的取值范围是 （-

17

8

，-2）∪（-2，1），
故答案为  （-

17

8

，-2）∪（-2，1）．