题目

问题一；设函数f(x)的定义域为（-l,l）,证明必存在（-l,l）上的偶函数g（x）及奇函数h（x）,使得
f（x）=g（x）+h（x）
设映射f：X→Y,A属于X,B属于X,证明
1,f（A∪B）=f（A）∪f（B）
2,f（A∩B）属于f（A）∩f（B）
如果可以,

提问时间：2020-11-11

答案

1.∵f(x)=g(x)+h(x) (1)
∴f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) (2)
(1)+(2)
∴g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
(1)-(2)
∴h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
既必存在（-l,l）上的偶函数g（x）及奇函数h（x）,使得f（x）=g（x）+h（x）
2.a.对任意的y属于f(A∪B),存在一个x属于A∪B,有
f（x）=y,其中x属于A或B,所以f(x)属于
f（A）或者是f（x）属于f（B）,当然有f（x）属
于f(A)∪f(B),即：y属于f(A)∪f(B),
所以 f(A∪B) 属于 f(A)∪f(B)
b.反过来,对任意的y属于f(A)∪f(B) ,有y属于
f(A)或f(B),不妨设其属于f(A),那么存在x属于
A,使得：f（x）=y,又有x属于 A∪B,所以
y属于f(A∪B).所以f(A)∪f(B) 属于f(A∪B)
综上所述：命题得证.
2.(1)设y属于f(A∪B),则存在x,有y=f(x)且x属于A∪B,即x属于A或x属于B,于是y属于f(A)或y属于f(B),故y属于f(A)∪f(B),f(A∪B)包含于f(A)∪f(B);
设y属于f(A)∪f(B),则y属于f(A)或y属于f(B),于是存在x属于A,使得y=f(x)或存在x属于B,使得y=f(x),即存在x属于A∪B,使得y=f(x),也即y属于f(A∪B),f(A)∪f(B)包含于f(A∪B),故f(A∪B)=f(A)∪f(B)
(2)
设y属于f(A∩B),则存在x,有y=f(x)且x属于A∩B,即x属于A且x属于B,于是y属于f(A)且y属于f(B),故y属于f(A)∩f(B),f(A∩B)包含于f(A)∩f(B).