题目

已知集合A={xlx²-3/2x-k=0,x∈(-1,1)},若集合A有且仅有一个元素,则实数k的取值范围是______

提问时间：2020-11-11

答案

令f(x)=x²-(3/2)x-k
f(x)=x²-(3/2)x -k=(x -3/4)² +9/16 -k
对称轴x=3/4,位于区间(-1,1)上.
要集合A有且仅有一个元素,只有两种情况：
(1)方程x²-(3/2)x-k=0判别式=0,且两相等实根位于区间(-1,1)上；
(2)方程有两不等实根,其中一根位于区间(-1,1)上,另一根>1
△=[-(3/2)]²+4k=4k+9/4
令4k+9/4=0,解得k=-9/16,方程变为16x² -24x +9=0
(4x-3)²=0 x=3/4∈(-1,1),满足题意.
令4k+9/4>0,解得k>-9/16,方程一根位于区间(-1,1)上,另一根≥1,则
f(-1)>0 f(1)≤0
f(-1)>0 (-1)²-(3/2)(-1)-k>0 k