题目
如图,已知菱形ADEF和等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=54°,点B、C分别在DE、EF.(B、C分别不与E、F重合)
(1)如图1,当AE平分∠BAC时,
①求证:BD=CF;
②当AD=AB时,求∠ABD的度数;
(2)如图2,当AE不平分∠BAC时,若△ADB是一个等腰三角形,求∠ABD的度数.
(1)如图1,当AE平分∠BAC时,
①求证:BD=CF;
②当AD=AB时,求∠ABD的度数;
(2)如图2,当AE不平分∠BAC时,若△ADB是一个等腰三角形,求∠ABD的度数.
提问时间:2020-11-10
答案
(1)①证明:∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
又∵AB=AC,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE,(2分)
∴BE=CE,
∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=EF,
∴DB=CF,(5分)
②当AD=AB时,设∠D=x°,得∠FAC=∠DAB=(180-2x)°,(6分)
由AF∥DE得∴x+2(180-2x)+54=180,
解得x=78∴∠ABD=78°;(9分)
(2)过点A作AM⊥DE于点M,AN⊥EF于点N,由AE平分∠DEF得AM=AN,
又∵AB=AC,
∴Rt△AMB≌Rt△ANC,
∴∠MAB=∠NAC,
∴∠MAN=∠BAC,
又∵∠MAN+∠MEN=180°,∠D+∠MEN=180°,
∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°,(11分)
若△ADB是一个等腰三角形,下面分三种情况讨论:
Ⅰ.当BD=BA时,得∠D=∠DAB=54°
解得∠ABD=72°,(12分)
Ⅱ.当AD=AB时,得∠ABD=∠D=54°,
由∠BAC=54°得AC∥DE,
∴AC与AF重合,这与AC与AF不重合矛盾,
∴此种情况不存在.
Ⅲ.因为DA不可能等于DB,所以第三种情况不存在.
综上所述:当△ADB是一个等腰三角形时,∠ABD的度数等于72°.(13分)
∴∠BAE=∠CAE,
又∵AB=AC,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE,(2分)
∴BE=CE,
∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=EF,
∴DB=CF,(5分)
②当AD=AB时,设∠D=x°,得∠FAC=∠DAB=(180-2x)°,(6分)
由AF∥DE得∴x+2(180-2x)+54=180,
解得x=78∴∠ABD=78°;(9分)
(2)过点A作AM⊥DE于点M,AN⊥EF于点N,由AE平分∠DEF得AM=AN,
又∵AB=AC,
∴Rt△AMB≌Rt△ANC,
∴∠MAB=∠NAC,
∴∠MAN=∠BAC,
又∵∠MAN+∠MEN=180°,∠D+∠MEN=180°,
∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°,(11分)
若△ADB是一个等腰三角形,下面分三种情况讨论:
Ⅰ.当BD=BA时,得∠D=∠DAB=54°
解得∠ABD=72°,(12分)
Ⅱ.当AD=AB时,得∠ABD=∠D=54°,
由∠BAC=54°得AC∥DE,
∴AC与AF重合,这与AC与AF不重合矛盾,
∴此种情况不存在.
Ⅲ.因为DA不可能等于DB,所以第三种情况不存在.
综上所述:当△ADB是一个等腰三角形时,∠ABD的度数等于72°.(13分)
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