题目

设关于x的二次方程（k^2-6k+8)x^2+(2k^2-6k-4)+k^2=4的两个根都是整数,求k的取值

提问时间：2020-11-10

答案

原方程可化为
（k－4）（k－2）x2＋（2k2－6k－4）x＋（k－2）（k＋2）＝0,
〔（k－4）x＋（k－2）〕〔（k－2）x＋（k＋2）〕＝0,
∵（k－4）（k－2）≠0,∴x1＝－(k－2)/(k－4)＝－1－2/(k－4),
x2＝－(k＋2)/(k－2)＝－1－4/(k－2)．
∴k－4＝－2/(x1＋1),k－2＝－2/(x2＋1)．（x1≠－1,x2≠－1）消去k,得
x1x2＋3x1＋2＝0,∴x1（x2＋3）＝－2．由于x1、x2都是整数,
∴x1＝－2,x2＋3＝1； x1＝1,x2＋3＝－2； x1＝2,x2＋3＝－1．
∴x1＝－2,x2＝－2； x1＝1,x2＝－5； x1＝2,x2＝－4．∴k＝6,3,10/3．经检验,k＝6,3,10/3满足题意