题目
设数列{an}的各项都是正数,Sn是其前n项和,且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(2n+1)2
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(2n+1)2
提问时间:2020-11-10
答案
(1)∵an2=2Sn-an,
∴当n=1时,a12=2a1-a1,即a12=a1,
∵a1>0,a1=1…1分
又an+12=2Sn+1-an+1,
∴an+12-an2=2(Sn+1-Sn)-an+1+an,
即(an+1-an)(an+1+an)=an+1+an,{an}的各项都是正数,
∴an+1-an=1…4分
∴数列{an}是1为首项,公差为1的等差数列,
∴an=n…6分
(2)由(1)知,bn=(2n+1)2an=(2n+1)•2n,
∴Tn=b1+b2+…+bn=3×2+5×22+…+(2n+1)•2n①
∴2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+(2n+1)•2n+1②…8分
①-②得:-Tn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)•2n+1
=6-(2n+1)•2n+1+
=-(2n-1)•2n+1-2,
∴Tn=(2n-1)•2n+1=2…12分
∴当n=1时,a12=2a1-a1,即a12=a1,
∵a1>0,a1=1…1分
又an+12=2Sn+1-an+1,
∴an+12-an2=2(Sn+1-Sn)-an+1+an,
即(an+1-an)(an+1+an)=an+1+an,{an}的各项都是正数,
∴an+1-an=1…4分
∴数列{an}是1为首项,公差为1的等差数列,
∴an=n…6分
(2)由(1)知,bn=(2n+1)2an=(2n+1)•2n,
∴Tn=b1+b2+…+bn=3×2+5×22+…+(2n+1)•2n①
∴2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+(2n+1)•2n+1②…8分
①-②得:-Tn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)•2n+1
=6-(2n+1)•2n+1+
23(1-2n-1) |
1-2 |
=-(2n-1)•2n+1-2,
∴Tn=(2n-1)•2n+1=2…12分
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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