题目

已知a为锐角向量a=（sina,cosa)b=（cos2a,sin2a）且a⊥b若向量x=2√3a+2b向量y=2a+2√3b
求向量x与向量y的夹角的余弦值。注：还有内个向量xy里面的ab都是向量ab

提问时间：2020-11-10

答案

∵向量a＝（sinα,cosα）、向量b＝（cos2α,sin2α）,又向量a⊥向量b,
∴向量a·向量b＝0,∴sinαcos2α＋cosαsin2α＝0,∴sin3α＝0.
∵α是锐角,∴0°＜3α＜270°,∴由sin3α＝0,得：3α＝180°,∴α＝60°.
∴cosα＝1/2、sinα＝√3/2、sin2α＝√3/2、cos2α＝－1/2.
∴向量a＝（1/2,√3/2）、向量b＝（√3/2,－1/2）.
∴向量x＝（2√3,2）、向量y＝（4,0）.
于是：
cos＜向量x、向量y＞
＝向量x·向量y/（｜向量x｜｜向量y｜）＝（8√3＋0）/［√（12＋4）×√（16＋0）］
＝8√3/16＝√3/2.