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题目
如图,把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).

(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少;
(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.

提问时间:2020-11-10

答案
(1)设正方形的边长为xcm,则(10-2x)(8-2x)=48.
即x2-9x+8=0.
解得x1=8(不合题意,舍去),x2=1.
∴剪去的正方形的边长为1cm.
(2)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2
则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2(8-2x)x.
即y=-8x2+36x.(0<x<4)
改写为y=-8(x-
9
4
2+
81
2

∴当x=2.25时,y最大=40.5.
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2
(3)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2
若按图1所示的方法剪折,则y与x的函数关系式为:
y=2(8-2x)x+2•
10−2x
2
•x.
即y=-6(x-
13
6
2+
169
6

∴当x=
13
6
时,y最大=
169
6

若按图2所示的方法剪折,则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2•
8−2x
2
•x.
即y=-6(x-
7
3
2+
98
3

∴当x=
7
3
时,y最大=
98
3

比较以上两种剪折方法可以看出,按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为
7
3
cm时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为
98
3
cm2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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