题目

在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c；
（Ⅰ）设向量

x

＝(sinB，sinC)，向量

y

＝(cosB，cosC)，向量

z

＝(cosB，−cosC)，若

z

∥(

x

+

y

)，求tanB+tanC的值；
（Ⅱ）已知a²-c²=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b．

提问时间：2020-11-09

答案

（Ⅰ）∵向量x=(sinB，sinC)，向量y=(cosB，cosC)，∴x+y=(sinB+cosB，sinC+cosC)，由z∥(x+y)，得cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，即sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC所以tanB+tanC=sinBcosB+sinCcosC=sinBcos...

（Ⅰ）根据两个向量的坐标写出两个向量的和的坐标，根据向量平行的充要条件写出关于三角形内角的三角函数的关系式，在关系是两边同除以两个角的余弦值的积，把弦化切，得到结果．
（Ⅱ）本题所给的条件是既有边又有角，首先要统一为一种变量之间的关系，角化边，利用正弦定理和余弦定理转化，得到边之间的有一个关系，和题目中所给的另一个关系进行变化，得到结果．

本题考点：平行向量与共线向量；弦切互化；正弦定理；余弦定理．

考点点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以出现，是一个近几年常考的问题．