题目

分段函数的导数,求a点和b点的
设函数f(x)=ax+1,x≤2 和 x^2+b,x>2
在x=2处可导,求常数a和b
我这有个解法如下：
由于f(2-0)=f(2=0)可知2a+1=2^2+b
由于f'(x)=a,x2
所以f'(x)的左极限等于a,f'(x)的右极限等于4
我想知道“由于f'(x)=a,x2”这步是怎么来的?

提问时间：2020-11-09

答案

先算出f(2) = 2a + 1.
为使f在2处可导,必须f在2连续,
f(2 - 0) = f(2 + 0) = f(2) = 2a + 1,
即2a + 1 = 2^2 + b,
应该再看左右导数．
但你的解法是想用”导数极限定理”
那就要求出f(x)在2的两侧(不包括2)的导函数f'(x)．
当x < 2时,在x附近,f(x)与初等函数ax+1一样．
因此,f'(x) = (ax + 1)' = a．
当x > 2时,在x附近,f(x)与初等函数x^2 + b一样
因此,f'(x) = (x^2 + b)' = 2x．
这就是“由于f'(x)=a,x2”的由来．
所谓“在x附近”的就是“在x点的一个充分小的邻域里”,只要x不等于零,这邻域你就可以取得很小很小很小很小很小使得它不包含0.这样f(x)在这个小邻域内就和那个初等函数一样了,所以导数也是一样的.