题目

（1）如图,AD是△ABC的角平分线,DE‖AB,DF‖AC,EF交AD于点o,请问DO是△DEF的角平分线吗?如果是,
请给予证明,请说明理由；
若将（1）中的结论与AD是△ABC的角平分线,
DE∥AB,DF∥AC中的任一条件交换,得到的新结论正确吗?

提问时间：2020-11-07

答案

（1）DO是∠EDF的角平分线,
证明：∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∵AD是∠CAB的角平分线,
∴∠EAD=∠FAD,
∵DE∥AB,
∴∠EDA=∠FAD,
∴∠EAD=EDA,
∴AE=DE,
∴平行四边形AFDE是菱形,
∴DO是∠EDF的角平分线．
正确．
①如和AD是∠CAB的角平分线交换,正确,理由与（1）证明过程相似；
②如和DE∥AB交换,
理由是：∵DF∥AC,
∴∠FDA=∠EAD,
∵AD是∠CAB的角平分线,DO是∠EDF的角平分线,
∴∠EAD=∠FAD,∠EDA=∠FDA,
∴∠EAF=∠EDF,
∵AE∥DF,
∴∠AEF=∠DFE,
∵∠EDF+∠EFD+∠DEF=180°,∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°,
∴∠DEF=∠AFE,
∴DE∥AB,正确．
③如和AE∥DF交换,正确理由与②类似．
答：若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换,所得命题正确．