题目

在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，
求证：AE=BG．

提问时间：2020-11-06

答案

作EH⊥BC于H，如图，
∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，
∴EA=EH，
∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，
∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，
∴∠B=∠DAC，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，
∴AE=AF，
∴EH=AF，
∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠B，
在△AFG和△EHB中，

∠GAF＝∠BEH ∠AGF＝∠B AF＝EH

，
∴△AFG≌△EHB（AAS）
∴AG=EB，
即AE+EG=BG+GE，
∴AE=BG．

作EH⊥BC于H，根据角平分线定理得到EA=EH，利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，根据三角形外角性质可推出∠AEC=∠B+∠ECB=∠DAC+∠ECA=∠AFE，则AE=AF，得到EH=AF，利用FG∥BC得到∠AGF=∠B，然后根据“AAS”可证得△AFG≌△EHB，再利用等量代换即可得到AG=EB．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了角平分线定理．