题目

已知a,b,c都是正整数,且a的平方+b的平方=c的平方,求证:1.a,b,c至少有一个偶数,2.a,b,c至少有一个能被3整除
做不来要被罚的!

提问时间：2020-11-05

答案

1.a,b,c至少有一个偶数
不妨设a,b,c均为奇数
我们先证明一个命题
(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1
所以奇数的平方被4除余1
如果a,b,均为奇数,那么a^2+b^2被4除余2,不可能是一个奇数的平方
命题得证
2.
(3k)^2=9k^2=3*3k^2
(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1
(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1
所以一个整数的平方被3除的余数只能是0或1
如果a,b,c均不是3的倍数,则a^2+b^2被3除余2
也不可能是一个整数的平方
得证