题目

一道代数不等式证明题：若1/b-1/a=1,则a-b

提问时间：2020-11-05

答案

首先ab≠0
其次1/b-1/a=1可以化成a-b=ab,（*）
（1）若ab异号,由（*）式,得a-b=ab＜0满足a-b＜1.
（2）若ab同号,不妨设a和b都＞0（否则,可以用-b代a,-a代b）,
则由1/b-1/a=1,得b＜1.∴（*）式可以化为a=b/(1-b)
∴a-b=b/（1-b）-b=b²/（1-b）.
而在b∈（0,1）上,由于b²+b-1=（b+1/2）²-5/4,
∴f（b）=b²+b-1单调递增,f（b）＜f（1）=1.


做到这里我发现题目有问题,事实上当b无限趋于1的时候,a趋于正无穷,也就是说a-b趋于正无穷.举个简单的例子当b=99/100时,a=99,a-b=98+1/100＞1.