题目

已知数列{an},Sn为其前n项和,满足4an-2Sn=1.(1)求数列{an}的通项公式(2)若bn=nan,求{bn}的前n项和Tn

提问时间：2020-11-05

答案

令n=1,得4a1-2a1=1,解得a1=1/2
当n≥2时,4an-2Sn=1 ①
4a(n-1)-2S(n-1)=1 ②
①-②得
4an-4a(n-1)-2an=0
即 2an=4a(n-1)
所以an/a(n-1)=2 (n≥2)
∴数列{an}是以a1=1/2为首项,2为公比的等比数列．
故an=2^(n-2)
那么bn=nan=n×2^(n-2)
所以Tn=b1+b2+b3+b4……+bn
=2^(-1)+2×2^0+3×2+4×2²……+n×2^(n-2)
2Tn= 2^0+2×2+3×2²+4×2³+……+n×2^(n-1)
故Tn-2Tn=1/2+2^0+2+2²+2³+2^(n-2)-n×2^(n-1)
-Tn=1/2+[1-2^(n-1)]/(1-2)-n×2^(n-1)
=1/2+2^(n-1)-1-n×2^(n-1)
所以Tn=n×2^(n-1)-2^(n-1)+1/2