题目

一阶线性微分方程的求法证明
dy/dx+p(x)y=q(x) (12.10)
dy/dx+p(x)y=0 (12.11)
为什么方程（12.10）的通解等于方程（12.11）的通解加上方程（12.10）的一个特解

提问时间：2020-11-03

答案

一阶线性非齐次微分方程的解的特点就是：
其齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
也就是：
方程（12.10）的通解等于方程（12.11）的通解加上方程（12.10）的一个特解
证明应该是数学分析里有详细的严格证明.我只是做一推导：
首先,方程（12.10）的一个特解肯定是方程（12.10）的解.
设为y=f1(x),则
f1’(x)+p(x)f1(x)=q(x)
其次,方程（12.10）的通解设为y=f2(x)
由(12.11) ,所以
f2’(x)+p(x)f2(x)=0
则y=f1(x)+f2(x)
可知.
[f1’(x)+f2’(x)]+p(x)[f1(x)+f2(x)]
=f1’(x)+p(x)f1(x)+f2’(x)+p(x)f2(x)
=q(x) +0
=q(x)
所以f1(x)+f2(x)是方程（12.10）的解
同时,因为为一阶线性方程,所以,其解中一定要含有一个任意常数C
而一阶线性齐次方程（12.11）的通解必定含有一个任意常数C
所以,由以上可知：
f1(x)+f2(x)是方程（12.11）的通解
即：方程（12.10）的通解等于方程（12.11）的通解加上方程（12.10）的一个特解
说明,n阶微分方程有n个任意常数C