题目

矩阵方程AB=0 A是mXn的矩阵 B是nXs的矩阵 那么 r(A)+r(B)小于等于n 而要是从解向量来看 B是AX=0的解空间
解空间的秩 =n-r(A)
他们之间是什么关系啊 这么少了个小于号呢 不太明白

提问时间：2020-11-03

答案

首先,更正LZ的一个错误:B不一定是Ax=0的解空间S
记B=(b1,b2,……,bs) ,由AB=0 ,知b1,b2,……,bs是Ax=0的解
但并不能说b1,b2,……,bs构成了Ax=0的解空间S
解空间S:1)S中的向量组线性无关
2)Ax=0的解都能由S中的向量线性表示
显然b1,b2,……,bs不一定线性无关,所以B不一定是Ax=0的解空间S
但当r(B)=r时,能说明b1,b2,……,bs中有r个向量线性无关
即Ax=0的解空间S中至少有r个向量,即dimS≥r
由解空间维度的关系:dimS=n-r(A) ≥r
即n≥r(A)+r= r(A)+r(B)