题目

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c的图象为曲线C．
（1）若曲线C上存在点P，使曲线C在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系；
（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；
（3）在满足（2）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范围．

提问时间：2020-11-03

答案

（1）f'（x）=3x2-2ax+b，设切点为P（x0，y0），则曲线y=f（x）在点P的切线的斜率k=f'（x0）=3x02-2ax0+b由题意知f'（x0）=3x02-2ax0+b=0有解，∴△=4a2-12b≥0，即a2≥3b．（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3处取得...

（1）切线与x轴平行等价于函数在该点处取到极值，即函数存在导数值为零的点．利用二次方程有根的条件进行求解；
（2）函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，可以得出函数在x=-1和x=3处导数值为零，利用韦达定理确定出a，b的值；
（3）将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求出函数的最值达到求解该题的目的．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查函数的极值与导数之间的关系，考查函数有极值的条件．要准确求解函数的导数，考查分离变量思想解决函数恒成立问题，考查学生的转化与化归思想．