题目
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为长方形,AD=2AB,点E、F分别是线段PD、PC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAB;
(Ⅱ)在线段AD上是否存在一点O,使得BO⊥平面PAC,若存在,请指出点O的位置,并证明BO⊥平面PAC;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAB;
(Ⅱ)在线段AD上是否存在一点O,使得BO⊥平面PAC,若存在,请指出点O的位置,并证明BO⊥平面PAC;若不存在,请说明理由.
提问时间:2020-11-03
答案
证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD为长方形,
∴CD∥AB,
∵EF∥CD,∴EF∥AB,
又∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB. …(6分)
(Ⅱ) 在线段AD上存在一点O,使得BO⊥平面PAC,
此时点O为线段AD的四等分点,满足AO=
AD,…(8分)
∵长方形ABCD中,
∠BAO=∠ADC=90°,
=
=
∴△ABO∽△ADC,
∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°,
∴AC⊥BO,(10分)
又∵PA⊥底面ABCD,BO⊂底面ABCD,
∴PA⊥BO,
∵PA∩AC=A,PA、AC⊂平面PAC
∴BO⊥平面PAC.(12分)
∴CD∥AB,
∵EF∥CD,∴EF∥AB,
又∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB. …(6分)
(Ⅱ) 在线段AD上存在一点O,使得BO⊥平面PAC,
此时点O为线段AD的四等分点,满足AO=
1 |
4 |
∵长方形ABCD中,
∠BAO=∠ADC=90°,
AO |
DC |
BA |
AD |
1 |
2 |
∴△ABO∽△ADC,
∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°,
∴AC⊥BO,(10分)
又∵PA⊥底面ABCD,BO⊂底面ABCD,
∴PA⊥BO,
∵PA∩AC=A,PA、AC⊂平面PAC
∴BO⊥平面PAC.(12分)
举一反三
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