题目

A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为单位圆上三点 且x1+x2+x3=0 y1+y2+y3=0
求证 x1²+x2²+x3²=y1²+y2²+y3²=3/2
我知道答案,但是为什么三角形ABC外心与内心重合?这一点没看懂.

提问时间：2020-11-03

答案

内心是角平分线的交点,到三边距离相等. 
设内心为M （X,Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量） 
MA=（X1-X,Y1-Y） 
MB=(X2-X,Y2-Y) 
MC=(X3-X,Y3-Y) 
则：a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0,a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0 
∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),Y=（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c) 
∴M（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）

依题意M=（0,0）

内心与外心重合,三角型为等边三角形.

后面证明附图：