题目

在△ABC中,已知|AB|=4,|AC|=2,AD=1/3AB向量+2/3AC向量.证明B,C,D三点共线若|AD|=√6,求|BC|的值
请用向量来解题!

提问时间：2020-11-03

答案

（1）证明：∵向量CB=向量AB-向量AC
向量CD=向量AD-向量AC=1/3向量AB+2/3向量AC-向量AC
=1/3向量AB-1/3向量AC=1/3（向量AB-向量AC）=1/3向量CB
∴向量CD//向量CB,故B、C、D三点共线.
当|AD|=√6时,以下计算省去“向量”二字：
∵BC=BA+AC,|AC|=2,|AB|=4,∴BC^2=BA^2+2BA*AC+AC^2=16+2BA*AC+4=20+2BA*AC
又∵AD=AB/3+2AC/3
∴AD^2=AB^2/9+4AB*AC/9+4AC^2/9=16/9+4AB*AC/9+16/9,
解得AB*AC==6,则BA*AC=-6
∴BC^2=20+2*(-6)=8
即|BC|=2√2