题目

平面上有10个点 任何三个点都不在一条直线上 以这些点为顶点画三角形,
使得任何两个三角形至多有一个公共顶点,最多可以画出多少个三角形

提问时间：2020-11-02

答案

n=3,不共边的三角形的总数=1,
n=4,不共边的三角形的总数=1,【任选3个点构成1个三角形后,如果还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含第4个点.这个三角形的另外2个点一定来自前3个点.这样,另外2个点相连的边一定是第1个三角形的1条边.矛盾,因此4个点只能构成1个不共边的三角形】
n=5,不共边的三角形的总数=1+1,【任选3个点构成1个三角形后,由n=4时的讨论知,其他和第1个三角形不共边的三角形中至多只能包含前3个点中的1个点.这样,其他不共边的三角形中的2个点一定是第4和第5个点,三角形的最后1个点来自前3个点中的1个.但其他的3个这样的三角形都共第4个点和第5个点连成的边.因此,除第1个三角形以外,另外只有1个不共边的三角形.】
n=6,不共边的三角形的总数=2+2,【由n=5的讨论知,任选5个点可以构成不共边的2个三角形.设这2个三角形的顶点分别为[P(1-2-3)]和[P(1-4-5)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(6),另外的2个顶点不能来自前面的2个三角形中的同一个三角形,只能从2个三角形中各选1个顶点[因P(1)和P(2)~P(4)之间已经有边了,因此,不能选P(1)].因此,其他的三角形为[P(2-4-6)],[P(3-5-6)]】
n=7,不共边的三角形的总数=4+3,【由n=6的讨论知,任选6个点可以构成不共边的4个三角形.设这4个三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(2-4-6)]和[P(3-5-6)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(7),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,其他的三角形为[P(1-6-7)][P(1)和P(2)~P(5)之间都已经有边了,只能选P(6).],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)]】
n=8,不共边的三角形的总数=7+0,【由n=7的讨论知,任选7个点可以构成不共边的7个三角形.设这些三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(8),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,没有其他的三角形了】
n=9,不共边的三角形的总数=7+1,【由n=8的讨论知,任选8个点可以构成不共边的7个三角形.设这些三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(9),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,其他的三角形为[P(1-8-9)]】
n=10,不共边的三角形的总数=8+2,【由n=9的讨论知,任选9个点可以构成不共边的8个三角形.设这些三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(1-8-9],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(10),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,其他的三角形为[P(2-8-10)],[P(3-9-10）]】