题目

已知集合P=[1,3],函数f(x)=log2[x^2-(a-3)x+b].1）设全集U为R,若
已知集合P=[1,3],函数f(x)=log2[x^2-(a-3)x+b].
1）设全集U为R,若不等式f(x)>0的解集为CuP,求实数a,b；
2）若b=8,方程f（2^x）=x在P内有解,求实数a的取值范围.
求问!

提问时间：2020-11-02

答案

1)
f(x)=log2[x^2-(a-3)x+b]
P=[1.3],CuP=(-∞,1)U(3,+∞)
f(x)>0
即x^2-(a-3)x+b>1
x^2-(a-3)x+b-1>0的解集为CuP
那么方程x^2-(a-3)x+b-1=0的两根
x1=1,x2=3
因此,a-3=x1+x3=4,b-1=x1x2=3
所以a=7,b=4
2)
b=7,
f(x)=log2[x^2-(a-3)x+8]
f(2^x)=x在[1,3]内有解
即log2[（2^x)^2-(a-3)*2^x+8]=x
2^(2x)-(a-3)*2^x+8=2^x
2^(2x)+2*2^x+8=a*2^x
a=2^x+8/2^x+2 在[1,3]内有解
∵x∈[1,3] ∴t=2^x∈[2,8]
∴a=t+8/t+2 ≥2+2√8=2+4√2
当且仅当t=8/t,t=2√2时取等号
即amin=2+4√2
又t=2时,a=8,
t=8时,a=11
函数 a=t+8/t+2在[2,2√2]上递减,
在[2√2,8]上递增
∴amax=11
∴2+4√2≤a≤11
方程f（2^x）=x在P内有解,实数a的取值范围是[2+4√2,11]