题目

设两圆C₁、C₂都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C₁C₂|= ___ ．

提问时间：2020-11-02

答案

∵两圆C₁、C₂都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故两圆圆心在第一象限的角平分线上，
设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=

(a-4)2-(a-1)2

，
∴a=5+2

2

，或 a=5-2

2

，故圆心为（5+2

2

，5+2

2

 ） 和 （5-2

2

，5-2

2

 ），
故两圆心的距离|C₁C₂|=

2

[（5+2

2

）-（5-2

2

）]=8，
故答案为：8

由题意易得圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=

(a−4)2−(a−1)2

，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C₁C₂|的值．

本题考点：圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评：本题考查直线和圆的位置关系，其中根据已知分析出圆心在第一象限的角平分线上，进而设出圆心坐标是解答的关键．