题目

证明若集合A上的一个二元关系R是对称的,则对于任意的n≥1,R^n也是对称的

提问时间：2020-11-01

答案

你有一个地方写的不规范：
　　R＾n是R与自身的n次笛卡尔积；任何集合的笛卡尔积都是一个对称关系,这样一来你的问题就没有意义了.我想你所说的应该是R与自身的n次【复合】,那应该写作：
　　R＾（n）＝R○R○…○R；
分析：对称性,说到底就是这样一条性质：
　　【＜a,b＞∈R】→【＜b,a＞∈R】；
动态来看,一个关系就是从一个元素引出另一个元素的一种对应；而关系的复合,其实就是对这种【对应】的重复.
　　如果有：＜a,z＞∈R＾（n）；
　　那么：我们必然可以找到一个元素序列：b,c,…,x,y；满足：
　　　　＜a,b＞∈R；
　　　　＜b,c＞∈R；
　　　　…
　　　　＜x,y＞∈R；
　　　　＜y,z＞∈R；
　　因为R是对称的,所以我们可以得出：
　　　　＜z,y＞∈R；
　　　　＜y,x＞∈R；
　　　　…
　　　　＜c,b＞∈R；
　　　　＜b,a＞∈R；
　　根据上面的序偶序列,就可以得出：
　　　　＜z,a＞∈R＾（n）；
　　这就证明R＾（n）的对称性了.