题目
已知O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),向量OM=t1向量OA+t2向量AB
若t1=a∧2,求当向量OM⊥向量AB且△ABM的面积为12时a的值
若t1=a∧2,求当向量OM⊥向量AB且△ABM的面积为12时a的值
提问时间:2020-11-01
答案
显然,AB的斜率=(6-2)/(4-0)=1.
∵向量OM⊥向量AB,∴OM⊥AB,∴OM的斜率=-1,∴OM的方程是:y=-x.
∴可设点M的坐标是(m,-m).
AB的方程是:y=x+2,即x-y+2=0,∴点M到AB的距离d=|m+m+2|/√(1+1),
∴S(△ABM)
=(1/2)AB×d=(1/2)√[(0-4)^2+(2-6)^2]×|m+m+2|/√(1+1)
=(1/2)×4√2×|m+m+2|/√2=4|m+1|=12,
∴|m+1|=3,∴m+1=-3,或m+1=3,∴m=-4,或m=2.
∴点M的坐标是(-4,4),或(2,-2).
一、当点M的坐标为(-4,4)时,向量OM=(-4,4).
很明显,向量OA=(0,2)、向量OB=(4,6),
∴依题意,有:向量OM=t1向量OA+t2向量OB,
∴4t2=-4、2t1+6t2=4,∴t2=-1,∴2t1-6=4,∴t1=5=a^2,
∴a=√5,或a=-√5.
二、当点M的坐标为(2,-2)时,向量OM=(2,-2).
∵向量OA=(0,2)、向量OB=(4,6),向量OM=t1向量OA+t2向量OB,
∴4t2=2、2t1+6t2=-2,∴t2=1/2,∴2t1+3=-2,∴t1=-5/2=a^2.
这自然是不合理的,应舍去.
综合上述一、二,得:满足条件的a值为√5,或-√5.
∵向量OM⊥向量AB,∴OM⊥AB,∴OM的斜率=-1,∴OM的方程是:y=-x.
∴可设点M的坐标是(m,-m).
AB的方程是:y=x+2,即x-y+2=0,∴点M到AB的距离d=|m+m+2|/√(1+1),
∴S(△ABM)
=(1/2)AB×d=(1/2)√[(0-4)^2+(2-6)^2]×|m+m+2|/√(1+1)
=(1/2)×4√2×|m+m+2|/√2=4|m+1|=12,
∴|m+1|=3,∴m+1=-3,或m+1=3,∴m=-4,或m=2.
∴点M的坐标是(-4,4),或(2,-2).
一、当点M的坐标为(-4,4)时,向量OM=(-4,4).
很明显,向量OA=(0,2)、向量OB=(4,6),
∴依题意,有:向量OM=t1向量OA+t2向量OB,
∴4t2=-4、2t1+6t2=4,∴t2=-1,∴2t1-6=4,∴t1=5=a^2,
∴a=√5,或a=-√5.
二、当点M的坐标为(2,-2)时,向量OM=(2,-2).
∵向量OA=(0,2)、向量OB=(4,6),向量OM=t1向量OA+t2向量OB,
∴4t2=2、2t1+6t2=-2,∴t2=1/2,∴2t1+3=-2,∴t1=-5/2=a^2.
这自然是不合理的,应舍去.
综合上述一、二,得:满足条件的a值为√5,或-√5.
举一反三
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